Хмельницький нацiональний унiверситет 
 Фiзика
Лабораторна робота: Вивчення фігур Ліссажу на осцилографі
Прилади і приладдя: осцилограф, звуковий генератор, з’єднувальні провідники, набір опорів, ємностей, індуктивностей.

Теоретичні відомості

В даній лабораторній роботі вивчається явище складання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань.

Нехай матеріальна точка бере участь одночасно в гармонічних коливаннях в напрямках осей OX та OY. Будемо спочатку вважати, що періоди коливань однакові. Рівняння цих коливань мають вигляд

(1)

Визначимо рівняння траєкторії точки, для чого виключимо із рівнянь (1) час t. Для цього перепишемо рівняння (1):
(2)

Помножимо перше рівняння системи (2) на cos(a2), а друге - на cos(a1), віднімемо від першого рівняння друге. Тоді отримаємо:
(3)

Далі помножимо перше рівняння системи (2) на sin(a1), а друге на sin(a2) і візьмемо їх різницю. В результаті матимемо:
(4)

Зводимо рівняння (3) та (4) до квадрату і почленно додаємо:
(5)

де =a2 - a1 - різниця фаз коливань (1), що додаються. Рівняння (5) і є рівнянням шуканої траекторії.

Із дискримінанта рівняння (5) ,

бачимо, що воно є рівнянням еліпса, осі якого довільно орієнтовані відносно координатних осей Х і Y. Я к видно, характеристики еліпса визначаються значеннями різниці фаз . Дослідімо окремі випадки цієї залежності.

А) Коли різниця фаз =0, то рівняння (5) перетворюється в рівняння прямої:

(6)

тобто результуючий рух матеріальної точки буде відбуватись по прямій, що проходить через початок координат і знаходиться в 1 і 3 квадратах (рис.1).
Рис. 1

Зміщення точки вздовж цієї прямої від початку координат буде визначатись відрізком r:
(7)

Де a = a1 = a2.

Отже, точка буде виконувати вздовж прямої (6) гармонічні коливання з періодом, що дорівнює періоду коливань, які складаються, та амплітудою


Б) Якщо різницею фаз буде = ±p, то результуючим рухом буде гармонічне коливання точки по прямій:
(8)

В) Якщо =p/2, то рівняння (5) у цьому випадку буде мати такий вигляд:
(9)

тобто результуючий рух буде відбуватись за еліпсом, приведеним до координатних осей (рис. 2).
Рис. 2

Якщо рівниця фаз =p/2, то матеріальна точка рухається за еліпсом (9) за годинниковою стрілкою. Дійсно, в цьому випадку рівняння (1) можна записати так;
(10)

Нехай в деякий момент часу аргумент wt+a=0, тоді X=A1, Y=0. В наступний момент часу аргумент буде зростати, а отже, координата X буде додатною, а Y - від’ємною( точка піде вниз від осі OX і зсунеться за напрямком годинникової стрілки. Якщо =3p/2, то аналогічно можна показати, що точка за еліпсом рухається проти годинникової стрілки. При зміні знаку на протилежний рух за еліпсом змінює свій напрямок на обернений. Якщо амплітуди коливань рівні A1=A2=A, то, як видно з формули (9), еліпс вироджується в коло (рис. 2).

З наведеного вище випливає, що рівномірний рух по колу у напрямку годинникової стрілки з кутовою швидкістю може бути розкладений на два взаємно перпендикулярних коливання з однаковими амплітудами;
(11)
Якщо частоти (або періоди) взаємно перпендикулярних коливань різні, то залежно від їх співвідношення результуючі рухи будуть відбуватись за складними траєкторіями, які називаються фігурами Ліссажу (рис. 3).
Рис. 3

Розглянемо, наприклад, складання двох взаємно перпендикулярних коливань із співвідношеннями частот w1:w2 = 1:2 і різницею фаз =0;
,
(12)

З першого рівняння визначаємо cos(w t)= потім sin(wt)= і підставляємо в друге рівняння (2), виразивши косинус подвійного кута:
(13)

Отже, в цьому разі результуючий рух відбувається за параболою (рис. 4) туди й назад між крайніми точками M і N.
Рис. 4

Якщо відбувається складання таких самих коливань, але з різницею фаз =p/2
(14)

то аналогічно можна знайти рівняння траєкторії результуючого руху і побудувати її графік (рис.5).
Рис. 5

Наведені результати складання взаємно перпендикулярних коливань властиві не тільки механічним коливанням, а й коливанням іншої фізичної природи ( електричним, оптичним, тощо). Як відомо, в кристалах внаслідок їх оптичної анізотропії відбувається подвійне променезаломлення, тобто з одного падаючого променя утворюються два - звичайний і незвичайний, в яких коливання оптичного вектора (вектора напруженості електричного поля E ) відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках. Коли промінь падає перпендикулярно до оптичної осі та поверхні кристала, звичайний і незвичайний промені йдуть в одному напрямку з різною фазовою швидкістю. Внаслідок цього між ними виникає різниця фаз:
(15)

де .- довжина хвилі світла у вакуумі; d - товщина кристала у напрямку розповсюдження світла; no, nе - показники заломлення речовини відповідно для звичайного і незвичайного променів. Проте коливання звичайного і незвичайного променів, які отримані із природного світла, породжені різними елементарними джерелами світла. Тому вони мають різні початкові фази aі, які хаотично змінюються через 10-8 с. Отже, різниця фаз між такими звичайними і незвичайними променями дуже швидко і випадково змінюється, тому вони не когерентні і не дають стійкої результуючої картини.
Інша справа, якщо на подвійно заломлюючу кристалічну пластинку падає лінійно поляризоване світло. Воно створює звичайний і незвичайний промені, які між собою когерентні і різниця фаз між якими визначається за формулою (15).
При виході із кристалічної пластинки коливання звичайного і незвичайного променів складаються за законами складання взаємно перпендикулярних коливань. Отже, при довільній різниці фаз (15) результуючий рух кінця світлового вектора відбувається за еліпсом у напрямку годинникової стрілки або у зворотному. Таке світло називається еліптично поляризованим (або поляризоване за еліпсом). В окремому випадку (при =p/2) отримаємо світло, поляризоване по колу (циркулярне поляризоване). Таким чином, у загальному випадку лінійно (плоcко) поляризоване світло після проходження кристалічної пластинки стає еліптично поляризованим.

Продовжити виконання лабораторної роботи